Brzdí bůh pokrok matematiky?

Matematika je báječná věda. Vede člověka i tam, kam jinak "nevidí". Například umí dopředu spočítat, jakou drahou má letět ze Země vyslaná sonda, aby za několik měsíců dosáhla Marsu. Předpovídá tak vlastně budoucnost.

Matematika je ale jen model světa, který člověk z přírody zkopíroval. Umí určitě odhalit to, co ještě v realitě neznáme, ale to umí jen tehdy, když jí jiná věda ukáže, jak ta která matematická struktura souvisí s realitou. To jasně ukazuje, dokud pochází. Chceme-li třeba ve fyzice něco spočítat, potřebujeme nejdříve fyzikální pochopení, aby bylo jasné, jaké fyzikální vlastnosti se popisují. Nač by nám byla rovnice E=m.c2, když bychom nevěděli, že E je energie, m hmotnost a c rychlost světla?

Matematika ale umí také žít ve "vlastní světě". Umí odhalovat struktury, které nikde v realitě nejsou. Ale není to důkaz jejích božských schopností, protože jen odhaluje možnosti přírody. Máme-li 20 kostek LEGA, není číslo 21 jejich modelem, ale je modelem možnosti, že získáme další kostky. Matematika umí odhalovat možnosti na daleko abstraktnější úrovni, ale princip je tu pořád ten, jako s těmi kostkami. Je to odhalování v realitě možného. To potvrzují příklady, kdy něco vynalezeného čistě v matematice, co nevzniklo ze snahy popsat skutečnost, se nakonec v empirické vědě báječně uplatnilo. Nejznámější je asi příklad v 19. století vyvinutých neeuklidovských geometrií použitých v roce 1915 k popisu zakřiveného prostoročasu v obecné teorii relativity.

Je báječné, že jsou matematici nadšení ze schopností matematiky, protože to je motivace k jejímu zdokonalování a motor dalšího pokroku mnoha jiných věd. Matematika je krev vědy. Když ale budou uvažovat o matematice jako celku, měli by si uvědomit (a většina z nich si to uvědomuje), že takové už nejsou matematické úvahy. Jde už o úvahy filosofické, tedy mimo jejich obor a ono matematické sebenadšení tu není na místě, ba může být hodně zavádějící. Například na otázku, je-li matematika něco jako dokonalý, absolutní platónský svět idejí, nejde odpovědět řešením nějaké rovnice, evidentně to není problém matematiky. Samozřejmě, že existují i matematici, kteří jsou zároveň skvělí filosofové, jako třeba již zesnulý génius Prof. Petr Vopěnka. Ale obecně je žel nutné konstatovat, že matematicky exaktně přesné a formální uvažování nutné pro matematiku, není moc vhodné pro filosofické úvahy. A to i v případě, že je velmi exaktního typu, což je dle mého skromného názoru ta pravá filosofie. A obráceně, filosofický styl uvažování není vhodný pro matematiku. Nicméně čistý matematik by se měl pouštět do úvah o filosofii matematiky velmi obezřetně a po podobně důkladném studiu filosofie, jako bylo jeho studium matematiky.

Mám matematiku rád pro její schopnost ukazovat cestu "v temnotě". Zejména v mládí jsem ji tak "žral", že jsem vyhrál pár matematických olympiád a 4 tlusté knihy o diferenciálním a integrálním počtu Prof. Jarníka jsem znal vlastně nazpaměť. Ale i ona, jako každá věda a lidská činnost, způsobuje též profesionální deformaci a jednostrannost. Není jich mnoho, ale jsou i matematici, kteří si myslí, že jejich obor je absolutně dokonalý a když zvládli jej, tak nějakou filosofii "dají" snadno bez soustavného studia a přemýšlení. Opírajíce se sebevědomě o skvělé kvality matematiky se občas, sem tam nějaký ten matematik domnívá, že matematika dává absolutní poznání. Tento poněkud naivní filosofický názor připomíná mechanické uvažování Isaaca Newtona a jeho absolutní prostor a čas. Ve své době to byl velmi progresivní myšlenkový styl, dnes se ale zřetelně ukázal jako příliš zjednodušený. Na základě něj si třeba exaktně uvažující génius na vozíčku Stephen Hawking myslel, že je filosofie dnes už mrtvá a napsal o tom dokonce knihu. A ani si nevšiml, jaký nesmysl napsal, protože tvrzení, že je filosofie mrtvá není nic jiného než v podstatě pozitivistická filosofie. A v té knize je také docela hodně filosofie, ... která dle něj nemá existovat. I když ta filosofie není moc dobrá. Ono to tak dopadne v každém oboru, kde je člověk amatér.

Představa, že je matematika absolutní poznání, vedla i k mainstreamovému názoru, že v matematice existuje nekonečno, tedy to pravé aktuální nekonečno, coby absolutní kvantita. Nemyslíme tím potenciální "nekonečno", což je vždy konečná hodnota, kterou ale můžeme kdykoliv zvětšit. Ale protože žijeme jen konečnou dobu i jako civilizace, naše počítače mají konečnou rychlost, máme jen konečné paměti, nemůžeme nikdy pravého nekonečna nijak dosáhnout. Máme vždy jen konečný počet přirozených (tedy kladných celých čísel), všechna, na která kdy jakýkoliv člověk pomyslel či je zapsal, tvoří vždy přesně 0% ze všech. A z nulového vzorku nemůžeme nikdy udělat závěr o celku. Tedy můžeme, ale je s naprostou jistotou chybný.

Druhý argument je, že samotný pojem nekonečné množiny, zavedený poprvé Cantorem do teorie množin, co by základy velké části matematiky, porušuje Euklidův axiom, že část je vždy menší než celek. Nekonečno totiž můžeme rozdělit třeba na nekonečno a jedničku, ? = ? + 1. Matematik možná namítne, že tento Euklidův axiom nemá s teorií množin nic společného, neboť to není axiom této teorie. Ale jakpak není, když je nekonečná množina definována jako jeho negace? A tak je na úvaze, který z axiomů je správný a proč. Nelze před tímto problémem jen zavřít oči. Ta souvislost existuje a že onen Euklidův axiom není v dané teorii, je jen díky námi subjektivně vymezené hranici. Objektivně tam žádná absolutní hranice není, veškeré abstrakce tvoří jediný celek. Ilustruje to i vývoj matematiky, která při hledání hlubších a pevnějších základů sjednocuje stále větší a větší pole abstrakce. To, co se předtím jevilo jako oddělené, se spojuje.

Nicméně ono skutečné nekonečno je dnes přece jen matematický mainstream. Jak je to ale možné? Zdá se, že třebaže je to chybná představa, je to velké zjednodušení mnohem složitějšího potenciálního "nekonečna". A díky této jednoduchosti se pravé nekonečno stalo axiomem Cantorovy teorie množin a také dnes nejvíce používané ZFC teorie množin. A rozpornost toho pojmu až tak nevadí, stejně jako nevadila nesmyslnost představy absolutního prostoru u Newtona. Cantorovo nekorektní zjednodušení umožňuje vystavět teorii množin i v situaci, kdy pro složitost či nedostatek informací není možné postavit teorii na potenciálním "nekonečnu". Mimochodem, ZFC teorii je ale překvapivě možné vystavět i bez axiomu nekonečné množiny. Ostatně v každé teorii množin je nekonečno sice axiomaticky zavedeno, ale prakticky se používá jen potenciální "nekonečno". O tom svědčí všechny ty druhy "číselných" nekonečen, které matematika vychrlila. Ta jsou určitě správně, ale už to, že jsou různě velká, jasně ukazuje, že žádné z nich není absolutní, tedy pravé nekonečno. Jen si to lidé prostě myslí. Podobně jako si dříve mysleli, že bůh vše způsobuje, a následně se ukázalo, že blesky nejsou boží akce a že výbuchy sopek, které zničily civilizace, nebyly božím trestem. Vysvětlení se používalo, ale správné nebylo.

Určitě jsou i matematici, jak řečeno, kteří mají matematiku za absolutní, přestože znají její historický vývoj, který by nebyl vůbec možný, kdyby byla matematika absolutně dokonalá. A přestože Gödel svým 1.teorémem o neúplnosti důkazně převedl, že matematika nemůže být dokonalá.  A i kdybychom připustili naivní představu, že matematika existuje v dokonalém platónské světě, stejně bude naše matematika přesně 0% z této dokonalé matematiky, protože jsou všechny naše vlastnosti konečné a nedokonalé. Z té dokonalosti tak zbude i v těch nejlepších hlavách jen nedokonalá nicka. Pak ale není naše matematika nijak podobná té hypotetické platónské, je od ní nekonečně vzdálená. Ale jinak také stačí otázka, kde že se takový platónský svět má nalézat. V realitě podle "platónců" nikoliv, takže asi zbývá je mysl boží. A tu se vyjevuje podstata pravého nekonečna jako božské iluze.

Ostatně stačí nahlédnout do historie, která jasně ukazuje, že podnětem pro uvažování o pravém nekonečnu byl vždy bůh. V matematice se do roku 1900 považovalo nekonečno za nesmysl. Například jeden z největších matematiků všech dob Gauss na jeho adresu napsal: "Protestuji proti používání nekonečna jako skutečné matematické entity, to se v matematice nikdy nesmí. Nekonečno je pouze způsob mluvy, kdy člověk správně hovoří o limitách, ke kterým se jisté veličiny mohou přiblížit, jakkoliv je libo, zatímco jiné mohou růst nade všechny meze." Zcela jasně tedy prohlásil, že existuje jen potenciální "nekonečno". Pravé nekonečno bylo např. ideologickým nástrojem katolíků proti protestantům (jako Leibniz). Chtěli povýšit svého boha nad protestantského, jenž "uměl" jen potenciální "nekonečno". I Cantor, který nekonečno významně uvedl na matematickou scénu a způsobil jeho velkého rozšíření, ho pokládal za boží vnuknutí, atd. Vypadá to, že je zde bůh žábou na prameni, která blokuje vývoj matematiky. Blokuje totiž další bohatý rozvoj matematiky v mnoha zatím neznámých strukturách jako jsou nestandardní přirozená čísla a další nestandardní struktury, před nimiž současný hlavní proud pevně zavírá oči, doufajíce možná v návrat iluze dokonalosti ve stylu Hilbertova programu.

Jeden nejmenovaný matematik mi v diskusi vmetl do tváře, že jsem narcis, protože jdu tvrzením o neexistenci nekonečna v matematice proti mainstreamu. Vypadá to, zdá se, že šlo spíše o obranu iracionální víry než o rozumovou úvahu. Nesmyslnost takové úvahy je totiž patrná již z toho, že před rokem 1900 byl názor, že pravé nekonečno v matematice není, mainstreamem. Byl tedy proto Cantor narcis a všichni matematici vyznávající existenci aktuálního nekonečna narcisové? Pak bych já byl jeden z mála, který narcisem není. :-)

Ale hlavně je třeba si všimnout, že současná věda je ze své podstaty systém názorů, které kdysi odporovaly mainstreamu. Galileo odporoval zavedenému názoru Aristotela, že hmotná tělesa tíhnou ke klidu, že je Země středem světa a že nebeská sféra je dokonalá (podobně jako si to někdo dnes myslí o matematice). V geometrii bylo nutné odvážně odporovat zavedené Euklidovské geometrii, aby vznikly geometrie, které ji zobecňují. Einstein také musel zlomit všeobecně zastávaný Newtonův pohled. Každý, kdo chce prosadit něco jen trochu nového, musí jít proti mainstreamu. Bez tohoto přístupu by matematika či jakákoliv věda prakticky ani nevznikla. Takže argumentovat tím, že většina odborníků si něco myslí, je principiálně nevědecký přístup. Pravda se nedá odhlasovat a kritériem pravdy není většina, ale experimentální důkaz, nebo zde logická správnost.

Mainstreamem byl i názor francouzské akademie věd, že kameny nemohou padat z nebe, když se uvažovalo o existenci meteoritů. Převládající názor v roce 1906 byl, že atomy neexistují. Byl to jeden z důvodů, proč Boltzmann, který na nich založil svou dnes běžně používanou termodynamiku, v tomto roce spáchal sebevraždu  Převládající názor byl také, že Země je středem světa, takže Martin Luther o Koperníkovi napsal a jeho heliocentrické hypotéze: "Ten hlupák chce převrátit celé umění astronomické! Ale jak uvádí Písmo svaté, Jozue přikázal zastavit se Zemi, nikoliv Slunci." Einstein na to měl také svůj názor: "Autoritářské šílenství je největším nepřítelem pravdy." Jako by na mě dýchl středověk, když se používá převládající názor jako argument. A když jsme u toho středověku, inkvizice určitě znala názory "heretiků", což se nedá říci o některých "kriticích" představy neexistence nekonečna, viz následující příklad.

Jistý matematik (a chvála bohu, že moc takových není), mi tvrdil, že jsem arogantní, když říkám, že nekonečno nikde neexistuje. To tedy není žádný vědecký argument, spíše jen naivní trolling. Když jsem mu předvedl analýzy Prof, Vopěnky a Skolema, proč není množina přirozených čísel nekonečná, prohlásil, že si tyto koncepce pamatoval blbě. Tedy vůbec neznal argumenty ani v rámci jeho vlastního oboru, nemluvě o mnoha dalších, ale byl si jist svým "správným" názorem. A co je arogantní? Roky se nekonečnem zabývat ve filosofii, ve fyzice, matematice, v lingvistice, v teorii písma, a v mnoha dalších oborech a předvést desítky argumentů nebo to, co převedl onen "kritik"?  To je arogance, neznat věc ani ve vlastním oboru, neznat obor ve kterém se existence nekonečna řeší, tedy filosofii, ale mít pevnou jistotu názoru. A toho, kdo jej nevyznává pavědecky označit za arogantního. Klasik označil právě tohle za vrchol arogance, jistotu plynoucí z neznalosti.

Otázka existence nekonečna v matematice není vůbec otázka matematická. Jde tu totiž o existenci absolutní abstrakce, ale matematika neumí řešit otázky, co je to abstrakce či existence, jaké mají vlastnosti a jestli mohou být absolutní. To nám neřekne žádná matematická teorie, ale jen filosofie. Matematika nejvíce nekonečno používá, nicméně otázku jeho podstaty neřeší, nerozumí jí. Podobně jako řidič F1 dokonale řídí svůj monopost, nicméně to neznamená, že automaticky musí dobře znát fyziku a chemii (spalovací motor), na které jeho stroj funguje. Prostě se v případě existence nekonečna nelze spolehnout na matematiku, ba je nutné počítat s pravděpodobností, že názor matematika může být neinformovaný a deformovaný, pokud současně není machr ve filosofii.

Tento blog obsahuje ve fragmentární podobě některé myšlenky z obhájené Ph.D. disertace Filosofie nekonečna.