Newtonovy problémy s magií nekonečna

Isaac Newton dokonce kvůli tom, že mu ve výpočtech vycházelo nekonečno, odložil vydání svých Principií Mathematica, tedy knihy, kterou byly položeny konzistentní základy klasické fyziky. S čím měl tedy milý Issac problém?

Konkrétně měl problémy s výpočtem přitažlivé gravitační síly. Z ní plynou i problémy s výpočtem energie, ale to bylo až na Newtonových následnících či současnících. Isaacův gravitační zákon zní (nebojte se, bude to matematicky velmi prosté, jak uvidíte za chvíli):

Gravitační síla F, kterou se dvě tělesa přitahují, je podle jeho zákona přímo úměrná hmotnosti těchto dvou těles m1 a m2 a nepřímo úměrná jejich vzdálenosti r. Na gravitační konstantu G můžeme zapomenout, ta nemá v našem případě vliv. Newton přišel přitom na báječné zjednodušení, že si bude představovat, jako by všechna hmotnost těles byla pouze v jednom bodě, v jejich těžišti. Ostatně z velké dálky lze každé těleso chápat prakticky jako bod. Když se podíváte na oblohu, jsou hvězdy nebo planety (téměř) body, pokud je tedy vůbec vidíme. (Dokonce když je už nevidíme, jsou "skutečně" body.)

Je jasné, že součin nahoře, tedy m1 x m2 bude kladný. Ovšem když si představíme, že dvě těžiště jsou hned vedle sebe, mají přece nulovou vzdálenost r. Pak nám ale zlomek vychází jako kladné číslo děleno nulou. Výsledek je tedy nekonečno, když nepoužijeme striktní matematický princip, že nulou nelze dělit. Pak by ale stejně byla situace neřešitelná, protože bychom nemohli tento gravitační zákon vůbec použít, když by byl výsledek nedosažitelný. Ostatně, když nám síla F vychází nekonečno, je situace stejná. Zákon je k ničemu, protože síla při dotyku bude vždy nekonečná pro jakákoliv tělesa.

To by snad ještě ani tak nevadilo, ale problém je s potenciální energií v gravitačním poli. Kdyby těžiště na sebe dopadla, měla by totiž vůči sobě nekonečnou energii. To by snad taky nemuselo vadit, protože holt nepotřebujeme počítat fiktivní dopad těžišť na sebe, když mají tělesa ve skutečnosti nenulové rozměry a těžiště nemohou být u sebe. Ale ani tak se nekonečnu nevyhneme, protože počítáme potenciální energii tělesa v gravitačním poli z pohledu těžiště, a ta nám proto vždy vyjde nekonečná. To nám opět znemožňuje vypočítat potenciální energii, tedy budoucí energii dopadu, protože ta vychází nekonečná, ať jde o jakákoliv tělesa v jakékoliv vzdálenosti a ať mají jakoukoliv hmotnost. Pro všechny rozmanité případu pořád vychází tato energie stereotypně jako jediná hodnota, nekonečno, neboli smaže jakékoliv rozumné výsledky či rozdíly. Nekonečno se vždy vyloupne z toho posledního kroku před myšlenou srážkou dvou těles, vlastně dvou těžišť, tedy nemožné situace.

Řešení je prosté, i když trochu nesmyslné. Počítejme potenciální energii ne od těžiště tělesa, na které má druhé těžiště fiktivně dopadnout, ale z druhé strany, z nekonečné vzdálenosti, viz obrázek:

Síla působící na nekonečně vzdálená tělesa je totiž nulová, takže nám při prvním kroku výpočtu "nevleze" do počítání nekonečná hodnota, jako při počítání od těžiště k těžišti. Správné by bylo sice počítat energii od tělesa 1 k tělesu 2, jak ukazuje kratší šipka, ale tam nám jakoukoliv snahu ničí ona  nekonečná hodnota. Proto počítáme z druhé strany, tedy z nekonečna k tělesu 2, jak ukazuje delší šipka. A vycházejí nám překvapivě rozumné a konečné hodnoty.

Má to ale jeden zádrhel. Počítáme vlastně v opačném směru, takže počátek souřadnic bereme v nekonečnu či, názorněji, v poloze, kdy je těleso vzdálené od gravitujícího centra, třeba od Země. Tam si pro jednoduchost definitoricky určíme energii tělesa jako nulovou. Nemá totiž žádnou pohybovou energii vůči např. Zemi, dokud ho nepustíme. A také zatím nemá žádnou energii z gravitačního pole, protože tu teprve získá. Můžeme si v metafoře představit gravitační pole jako proud vody, který těleso strhává. Pochopitelně je jasné, že ten proud energii má a předá ji tělesu. Ovšem my ten proud nevidíme, takže se mu těžko připisuje energii, ale hlavně ji zatím má ten proud, ne to těleso, které ji od proudu teprve získá, až jej pustíme. Proto tedy celkovou energii tělesa určíme jako nulovou. Ovšem jak těleso padá, nabírá kinetickou energii a kvůli zachování energie, ji někde musí brát. Tam ale energie klesá, tedy se potenciální energie stává zápornou. Ona ve skutečnosti záporná není, je kladná a v gravitačním poli, ale protože vše počítáme z druhé strany, kde jsme si pro snadnost výpočtu definovali energii jako nulovou, dostáváme tu potenciální jako zápornou.

Nebo si to můžeme vysvětlit jinak, když uvážíme, že potenciální energii počítáme jaksi v opačném směru, z nekonečna, než bychom správně měli (viz obrázek výše). Určitě víme, že když máme dvě rychlosti proti sobě, jednu označujeme vůči druhé jako zápornou. Tady se nám tedy také vloudí záporné znaménko. Ale jak u rychlosti, tak u síly a také u energie je záporné znaménko jen technický trik, který nelze brát úplně vážně a ukazuje maximálně, že něco počítáme v opačném směru. Zejména záporná energie ale vůbec neexistuje.

Newton měl tedy problém s nekonečnou gravitační silou, z čehož posléze vyplynul problém s nekonečnou potenciální energií, neboť obě nekonečné hodnoty nedávají rozumný fyzikální smysl. Vlastně každá idealizace ve fyzice vyplodí nějaká nekonečna, a ta jsou v experimentální vědě nevědecká, protože nejsou empiricky testovat, ověřit nebo změřit. Jsou to totiž v realitě neexistující zjednodušení. V realitě nekonečno totiž vůbec neexistuje. Ostatně neexistuje ani v matematice, jak nakonec usoudil i Newton.

Vytvořil totiž kalkul, tedy diferenciální a integrální počet, kde se něco počítá po maličkých krocích, diferenciálech, třeba dx, jde-li o vzdálenost. Máme-li například křivku, nemůžeme ji jako úsečku změřit/spočítat najednou, ale musíme její délku sčítat po malých kousíčcích. (Integrál není nic jiného než součet.) Newton si zpočátku myslel, že jsou tyto malé kroky skutečně nulové. Jenže takové řešení se ukázalo jako logicky sporné a nesmyslné. Máte-li bod nulové délky, můžete jich sečíst, kolik chcete, a stále máte jako výsledek bod nulové délky. Nikam se nepohneme, nic nevytvoříme. Nakonec Newton pochopil, že tyto kroky nejsou nulové, ale tak extrémně malé, že je i výpočet (dané přesnosti) považuje prakticky za nulové. Přešel tak na d'Alembertův přístup limity, neboli epsilon delta okolí. Ten ponechává krok nenulový, ale tak libovolně malý, aby neovlivnil výsledek výpočtu. A to byla druhá Newtonova potíž s magií neexistujícího nekonečna. (Pro upřesnění, s představou limity začal Fermat (1601-1665), takže za Newtona (1642-1727) už byl znám. Hojně ho ale začal používat d'Alembert (1717-1783), čímž ho proslavil, takže se tento přístup nejednou označuje jako d'Alembert?ův. Ovšem zcela matematicky korektní podobu mu dal až Cauchy (1789-1857).)

Podobný problém s nesmyslem nekonečna má i zjednodušení zvané singularita černé díry, o čemž si můžete něco přečíst v textu Proč neexistuje singularita velkého třesku a černých děr. A že ani "objevitel" nekonečna v matematice Bernard Bolzano, vlastně vůbec o skutečném nekonečnu nemluvil, se můžete zase přesvědčit v textu Kterak Bolzano ukázal, že nekonečno neexistuje.