Nekonečno jako mechanický bůh

Nekonečno si představíme jako mechanickou formu boha, jehož podstatou je nepochopení, že mechanické uvažování má své hranice a při jejich překročení z tohoto zjednodušeného, i když efektivního uvažování, vypadávají nelogičnosti.

Aby nedošlo k mýlce, tenhle blog se nesnaží ani na vteřinu říci, že matematika je nesmysl. Matematika je nádherný a úžasně efektivní výtvor lidské mysli, který je naším nejlepším "smyslem", "rentgenem", kterým "vidíme" tam, kam žádným jiným prostředkem nejsme schopni proniknout. Autor tohoto blogu má matematiku v oblibě, neboť je to neuvěřitelně efektivní a přesný kontrolní mechanismus, který z úvah vymetá nesmysly a nemožnosti, a matematika mu pomáhá v tomto smyslu při studium teoretické fyziky. Tato obliba u autora možná začala už v mládí, kdy mu matematika šla na všech školách opravdu dobře, a tento vztah byl posílen i tím, že pár matematických olympiád vyhrál, i když "omylem", jak poznamenal jeho profesor Andrys z klubu mladých matematiků. (Mimochodem zmíněný profesor prohlašoval, že na jedničku umí matematiků bůh, na dvojku on sám, na trojku možná výjimečně některý naprosto špičkový student.) Takže všechna čest a srdce matematice.

Nicméně je třeba mít na paměti, že každá metoda, každý styl uvažování má své hranice, žádný není skutečně absolutní, což by matematika měla snad dobře vědět, když si často u svých úloh určuje definiční obor, mimo nějž nedává daná úloha dobrý smysl. Nebo je také dobré vzpomenout, že exaktní uvažování zplodilo Gödelovy věty o neúplnosti, které poukazují na to, že v aritmetice nutně musí existovat nerozhodnutelné výroky, které nejsou ani dokazatelné ani vyvratitelné v jejím rámci. Tam končí vláda aritmetiky.

Právě tyto hranice si ale matematika neuvědomuje, když se snaží dělat aritmetické operace s čísly, to jest sčítání, odčítání, násobení a dělení. Pro jednoduchost zůstaneme u přirozených čísel, tedy řady čísel 1, 2, 3, 4, atd. Nula sem byla přidána dodatečně (přišla k nám, mimochodem z Indie), tak ji pro jednoduchost uvažovat nebudeme. 

Nekonečno původně vzniklo velmi prostě, jako pokračování řady přirozených čísel. Tato řada nemá, pokud víme, žádné omezení, další a další přirozená čísla mohou být stále větší a větší. Stačí prostě k tomu největšímu, co zrovna máme, mechanicky přidat jedničku. A pro všechna tato čísla bude normálně platit aritmetika třeba v tom smyslu, že součet dvou čísel (nulu jsme vyloučili) je větší než každý ze sčítanců, 3 +2 = 5 a 5 je větší než 2 i než 3. Taková řada přirozených čísel nemá nikde konec, můžeme tedy říci, že je NE-konečná. Pochopíme přitom, že vždy bude mít každé přirozené číslo konečnou hodnotu (např. 657313213546543132113213131313121305465441), ale vždy můžeme přidat jedničku.

Pokusme se tento mechanický postup přidávání jedničky absolutizovat, tedy ho dotáhnout až do konce. Všimněte si už té podivnosti, že chceme jaksi ukončit řadu bez konce, což se zdá jako nesmysl, ale nechť. Konec této řady je nekonečno v dnešním slova smyslu, tzv. aktuální nekonečno, absolutní hodnota, která je ovšem, jak ukázáno výše, pravým opakem NE-konečna. Je to konečná stanice, ke které již jedničku nelze přidat, jak uvidíme vzápětí. Už to by nám mohlo naznačit, že nekonečno nepatří mezi přirozená čísla.

Že je tato absolutizace, tedy stanovení konce nekonečné řady, logicky špatně se dovíme tak, že ono nekonečno, lemniskátu, ležatou osmičku, dosadíme do libovolného aritmetického výrazu. Zjistíme, že pro nekonečno aritmetika nefunguje, hroutí se, neboť například ? + 1 = ? a tedy součet není větší než ?. A protože aritmetika jinak platí pro všechna přirozená čísla, lze usoudit, že nekonečno není přirozené číslo, tedy nepatří do této množiny. To ostatně odsouhlasí každý matematik.

Matematik ale prohlásí, že přestože není nekonečno přirozené číslo, přesto je mohutnost množiny přirozených čísel (rozuměj počet přirozených čísel) nekonečná. Že je to nemůže být dobře se můžeme přesvědčit prostou úvahou. Postavme vedle sebe dvě řady, řadu přirozených čísel a řadu, která vyčísluje mohutnost této neukončené řady přirozených čísel. Máme-li jen jedničku, je mohutnost takové množiny 1, máme-li 1, 2 , 3, je počet těchto čísel 3, máme-li řadu až do devítky, je její mohutnost 9, atd. Zjišťujeme tedy, že řada mohutnosti je zcela identická s řadou přirozených čísel:

Řada přirozených čísel: ................................. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .................................
Mohutnost prvních několika členů téhle řady: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .................................

Z toho ale logicky plyne, že má-li být mohutnost nekonečná, je nutné, aby nekonečno bylo v řadě přirozených čísel, protože když jsou tyto řady identické, nemůžeme v řadě přirozených čísel některé pozice vynechat. Protože ale nekonečno nemůže být v řadě přirozených čísel, je jasné, že nemůže být ani mohutnost množiny přirozených čísel nekonečná.

Podobným prostým způsobem je možné ukázat, že kdekoliv se snažíme použít nekonečno, nepodaří se nám to, protože pokus o absolutní hodnotu likviduje jakoukoliv matematickou strukturu, neboť žádná matematická struktura není absolutní.

Extrapolace nějakého postupu je s tím méně spolehlivá, čím do větší vzdálenosti je uskutečněna. Je-li tedy extrapolováno do nekonečné vzdálenosti, jako zde, je jasné, že i chyba je absolutní, nekonečná, tedy že daná úvaha je úplně špatně.

Toto lze doložit z jiné strany tak, že ukážeme, že nekonečno nelze nijak zkonstruovat z konečných hodnot. Použijeme zase příklad přirozených čísel. Naivní představa říká, že tato řada nikde nekončí a je možné jít stále dál a dál. Jak ale dojdeme až k nekonečnu? Máme jen dvě možnosti. Buď budeme přidávat jedničku a to uděláme NEKONEČNĚ krát nebo uděláme jeden NEKONEČNÝ poslední krok. V každém případě vlastně už nekonečno musíme mít předem jako předpoklad, abychom ho dosáhli. To je ale prostý "podvod", tedy tautologie. Nelze provést matematický důkaz tvrzení A tak, že vezmeme jako výchozí předpoklad, že tvrzení A platí. Evidentně mechanický postup o dosažení nekonečna selhal.
Poslední stéblo, kterého se nekonečno může chytat, je možnost zavést ho jako axiom. Jenže takový axiom jednak není nikterak ze světa empiricky odvoditelný, což by snad ještě tolik nevadilo, ale za druhé, když jej použijeme v libovolné matematické disciplíně, "vychrlí" neřešitelné rozpory, jako v případě neplatnosti aritmetiky u nekonečné řady přirozených čísel, což jsme převedli. Aktuální nekonečno je tedy efektivně mrtvé, neexistující i ve světě abstraktní matematiky.

Je to proto, že ani žádný produkt rozumu nemůže být vpravdě absolutní a nemůže tedy pojmout tedy i nekonečno jako absolutně velkou hodnotu. Zbývá nám jen NE-konečno, tedy otevřená řada, něco neohraničeného, tzv. potenciální "nekonečno", které je ale přímou negací aktuálního nekonečna, neboť je od něj do nekonečna nekonečně daleko. Potenciální nekonečno je tedy nulový krok k tomu aktuálnímu, "činí z něj 0%", kdyby jejich podíl bylo možné vyjádřit.

Tato neschopnost omezeného lidského chápání uchopit nekonečno vede, jako každá neschopnost překonat nějakou překážku, v aktivaci mozku, tedy výronu jeho stimulačních interních drog, jako je endorfin, serotonin, či adrenalin (fyziologové to budou vědět lépe). Tyto "opiáty" zároveň vytvářejí "náboženské" pocity a narušují rozumné uvažování. Proto je nekonečno v podstatě oltářem svého "náboženství", předsudkem podobně jako bůh.

Absolutně velká hodnota, či cokoliv skutečně absolutního (absolutně absolutního) je pro lidský rozum absolutně nepřekonatelná překážka a to díky neřešitelným logickým rozporům, které plodí, ty však kvůli onomu "náboženství" nevedou ke správnému odmítnutí nekonečna, ale ke zbožňování logických nonsensů a nazýváním těchto prostých chyb vzletně paradoxy nekonečna.

Jít dnes proti nekonečnu je něco podobného, jako jít ve středověku proti bohu. Budete upáleni, dnes naštěstí v matematické komunitě "jen" akademicky. Obávám se, že to byl tak trochu i příklad Prof. Vopěnky. A chcete-li něco o tématu číst přímo z pera tohoto velikána české matematiky, můžete si přečíst jeho článek Neexistence množiny všech přirozených čísel v časopise Vesmír.