Proč v matematice nekonečno existuje a v realitě nikoliv

1. 10. 2019 9:08:11
Vyjde-li v nějaké fyzikální rovnici nekonečno, a​ť už jsou to nekonečně malé rozměry, nekonečné síly nebo cokoliv jiného, fyzici ví, že tam dotyčná rovnice už neplatí. V realitě nekonečno zřejmě neexistuje. Ale co v matematice?

Fyzika ví, že nekonečně malý střed černé díry nebo stejně velký praatom velkého třesku, tzv. singularity, ve skutečnosti nemohou být nekonečně malé, protože v těchto singularitách musí platit také kvantová mechanika. Ta nepřipouští nulové rozměry, protože, jak to vypadá, nejmenší vzdálenost v prostoru je někde kolem Planckovy délky, tedy zhruba 1,6 x 10^-35 metru. To je příklad toho, že nějaké nekonečno, v tomto případě něco nekonečně malého, nemůže v realitě existovat. Tak alespoň singularity pojímají nadějné teorie "všeho" (tedy všeho, co zatím známe) kvantová smyčková gravitace a superstrunová hypotéza.

Uveďme ještě další příklad neexistence nekonečna v realitě. Jsou to nekonečna, která vycházela při výpočtech v kvantové teorii pole. Tzv. renormalizace, která třeba Richardu Feynmanovi umožnila odstranit z výpočtů jeho diagramů nekonečna, vlastně vedla k jeho Nobelově ceně za fyziku. Tato se dají metaforicky přiblížit následujícím příkladem (zdroj [1]):

Vložme pingpongový míček pod vodu a držme jej tam v klidu. Představme si, že je to dokonalý míček, který je tak tenký, že má nulovou hmotnost, prostě nic neváží. Teď jej pusťme. Začne stoupat k hladině působením vztlakové síle. Ať je tato síla jakákoliv, musí míčku udělit okamžitě nekonečnou rychlost a nekonečné zrychlení, pokud jsme řekli, že míček má onu nulovou hmotnost. Newtonův zákon síly totiž vyjadřuje rovnice pro sílu F:

F = m . a

A protože je hmotnost m nulová a síla F není nulová (můžeme si ji třeba položit rovnu jedné) dostaneme rovnici:

1 = 0 . a

pak zrychlení a musí být :

a = 1 / 0 =

tedy nekonečno. Je jasné, že nekonečno zde vniklo chybou, neboť pohyb míčku vzbuzuje odpor vody, který působí proti jeho pohybu, a tento odpor jsme opominuli. Tímto odporem se míček chová tak, jako by nějakou hmotnost měl, a proto se nekonečně rychle pohybovat nezačne. A tedy i kdyby míček měl skutečnou hmotnost nulovou, má efektivní hmotnost nenulovou. Efektivní hmotnost tady vlastně není hmotnost onoho míčku, ale jeho zdánlivá hmotnost, způsobená tím, že svou hmotnost (a další vlastnosti) na míček přenáší molekuly vody. (A samozřejmě ani není možné, aby měl míček skutečnou hmotnost nulovou.)

Mimochodem, tenhle příklad krásně ukazuje, jakým způsobem vznikne jakákoliv představa nekonečna v realitě. Je to tak, že člověk situaci příliš zjednoduší a zanedbá reálně fungující faktory (jako zde efektivní hmotnost míčku způsobenou odporem vody a skutečnou hmotnost míčku). Další argumenty pro neexistenci nekonečna v realitě najdete třeba v blogu Nevědecké pohádky moderní vědy I - nekonečno.

Mohli bychom uzavřít, že problém je pouze v tom, že naše modely reálného světa jsou vždy zjednodušené, tedy něco nezanedbatelného pomíjí. Asi to tak je, jenže v tomto závěru je obsaženo ďáblovo kopýtko namířené i proti matematice. Co jiného je totiž matematika, než zjednodušený model světa? Je-li tomu tak, nemělo by pak být nekonečno ani v matematice.

Je matematika opravdu jen zjednodušený popis reálného světa? Když počítáme, že 1 + 1 jsou 2, dobře víme, že za jedničky si můžeme dosadit cokoliv z reálného světa, a že tato rovnice pomíjí jakékoliv další vlastnosti těchto objektů, jež jsou jedničkami zastupovány. Matematická abstrakce tedy zjednodušuje zcela zásadně. Matematika vůbec vznikla proto, že byla prakticky užitečná tím, že kvantitativně popisuje reálný svět, je jeho modelem. Je sice pravda, že některé její disciplíny aktuálně nepopisují nic z reality. Může to být ale jen tím, že matematika předbíhá naše poznání světa, což je právě podstata její užitečnosti. Spočteme-li podle plánu budovy množství materiálu, který bude její stavba vyžadovat, vlastně tu matematika předběhla reálné postavení domu.

Někdy to nevypadá, že by matematika popisovala realitu, protože jí v realitě nic neodpovídá, ale časem se ukáže, že jen předběhla své praktické aplikace. Zajímavým příkladem je tu oblast matematiky zvaná Lieovy grupy. Na nich jejich autor, norský matematik Marius Sophus Lie, pracoval dokonce i ve vězení a vytvořil je jen pro jejich matematickou krásu. Ač tedy vznikly zcela neprakticky, jaksi odtrženy od reality, dnes se používají k modelům reality, konkrétně třeba v mechanice, teorii pole, částicové fyzice nebo teorii relativity. A hlavně matematika převzala z reality její logiku, její zákony. Jedině díky použití těchto z reality zkopírovaných postupů může vytvářet své nové oblastí a disciplíny. Vůči lidským znalostem realita je tak určitě napřed, nicméně vůči realitě samé je značně pozadu a jen objevuje to, co v realitě dávno existuje.

Je ale i jiný důvod, proč silně pochybovat o existenci nekonečna v matematice než jen prohlásit, že matematika je model reality a když není nekonečno v realitě, nemůže být ani v jejím modelu. Stačí si vzít jednoduchý příklad řady přirozených čísel, tedy řady 1, 2, 3, 4 atd. Kolik je těchto přirozených čísel? První prostá odpověď, která se nabízí je, že jich je nekonečně mnoho. Kde má tato řada konec, že? Nikde přece. Jenže zkuste si představit celou tuto nekonečnou řadu? Že to nejde? Že dojdete jen v nějakému velkému číslu? A jak jsme od tohoto obrovského čísla daleko k nekonečnu? Nekonečně daleko. Neudělali jsme ani první krok na cestě k nekonečnu. I když vezmeme nějaké obrovské číslo v této řadě, které připravila matematika, třeba Googol, tedy 10^100, neboli jedničku se sto nulami. I v tomto případě jsme ale od nekonečna nekonečně daleko. Jakékoliv číslo v řadě přirozených čísel je vždy nekonečně daleko od nekonečna, není ani tím nejmenším krokem ke skutečnému nekonečnu. Že je nekonečno v řadě přirozených čísle nedosažitelné si můžeme přečíst třeba v článku geniálního matematika Prof. Vopěnky Neexistence množiny všech přirozených čísel, kde vlastně vysvětluje, že nekonečno není v tomto případě aktualizovatelné, tedy uskutečnitelné.

Matematici uznávají, že nekonečno není z čehokoliv konečného zkonstruovatelné, dosažitelné. Jenže, že ho nemůžeme dosáhnout, řekne si člověk, to ještě neznamená, že neexistuje. (Upřímně řečeno, absolutní nedosažitelnost skutečně znamená, že něco neexistuje, neboť existence je pouze fenomenologická, jevová, ale to už by bylo extrémně náročné téma.) Proto matematici navrhují zavést nekonečno do matematiky jako axiom. Prostě si ho chtějí nadefinovat a dost. Jenže ani to se nepovede.

Snadno si to předvedeme na tom nejprostším případě již zmíněné řady přirozených čísel (to jest celých kladných čísel). Na těchto číslech je definována aritmetika, tedy sčítání, odčítání, násobení a dělení. Jenže aritmetika se hroutí právě když se ji pokusíme použít na nekonečno. Stačí se zeptat, kolik je 0 x ∞ nebo analyzovat rovnici ∞ + 1 = ∞. Když v ní odečteme ∞, dostaneme 1 = 0, což je evidentně chyba. Aritmetika, která platí pro všechna přirozená čísla, neplatí pro nekonečno, tedy nekonečno nepatří mezi přirozená čísla, a proto je řada přirozených čísel vždy konečná. Můžeme ji vždy "protahovat", ale vždy bude poslední číslo, které budeme mít, konečné, a bude nekonečně vzdáleno od nekonečna. Řada přirozených čísle je jen potenciálně "nekonečná", tedy vždy je konečná, ale nemá pevnou hranici, pevný konec, takže jej vždy můžeme posunout. Její konec je dynamický. Důkladněji můžete tuto záležitost analyzovat v blogu Nekonečno jako mechanický bůh. A podobné neřešitelné rozpory nekonečno vytvoří v matematice všude, kde se ho pokusíme uvažovat.

Závěr je tedy zřejmý. Nekonečno neexistuje nejen v realitě, ale neexistuje ani v matematice. Jeho představa v matematice je jen chybné zjednodušení situace. Je to podobná situace jako byla s nebeskými tělesy, která si lidé před Galileem představovali jako dokonalá, přímo matematicky dokonalá, jako hladké koule, které obíhají bez ztrát energie, jako něco absolutního. Galileo začal chápat, když pozoroval hory a údolí na Měsíci (a další nebeská tělesa), že ani nebeská tělesa nejsou ideální, ale ideální je jen naše zjednodušená představa o nich. Stejně tak dokonalá matematika přestává být v případě nekonečna dokonalá, když se na ni podíváme drobnohledem svého rozumu. Tedy řekneme-li nekonečno, je to pouze zjednodušené zobrazení něčeho sice obrovského, co přesahuje naše možnosti uchopení, ale vždy něčeho konečného.

[1] Brauer T.: Moderní formulace teorie renormalizace a její použití ve fyzice částic, diplomová práce Ústavu teoretické fyziky MFF UK Praha, 2002
[2] Vopěnka P.: Neexistence množiny všech přirozených čísel, časopis Vesmír č.6/2015

Autor: Jan Fikáček | úterý 1.10.2019 9:08 | karma článku: 42.51 | přečteno: 4612x

Další články blogera

Jan Fikáček

Nahraďte svou ženu a děti umělou trpělivostí (inteligencí?)!

Tak jo, uznávám, že ženu a děti nelze umělou inteligencí nahradit ve většině případů, ale v jednom by to asi šlo, ne? :)

20.3.2024 v 9:07 | Karma článku: 21.69 | Přečteno: 613 | Diskuse

Jan Fikáček

Mašínové: Padouch nebo hrdina, my jsme jedna rodina!

Film Bratři o skupině Mašínů dostal v sobotu cenu za nejlepší film roku na Českém lvu. Jeho tvůrce na večeru prohlásil, že to byli hrdinové. Tak se pojďme podívat na jejich činy.

11.3.2024 v 9:07 | Karma článku: 45.70 | Přečteno: 6277 | Diskuse

Jan Fikáček

Jak nás intuice vede na scestí v otázce, co je to realita

V hollywoodských filmech často nějaký hrdina, astronaut nebo detektiv, vyřeší problém intuicí. Když selže rozum a důkazy, intuice zaskočí. Jenže intuice není vždy spásné řešení, někdy tomu řešení naopak brání..

27.2.2024 v 9:07 | Karma článku: 30.29 | Přečteno: 2107 | Diskuse

Jan Fikáček

Dá se v padesáti naučit anglicky?

Mnohokrát jsem slyšel názor, že pokud se člověk nenaučí nějaký cizí jazyk do třiceti, už se ho nenaučí nikdy. A proto když jsme se přestěhovali s rodinou před tímto mým věkem do Belgie, ani jsem se nový jazyk naučit nesnažil.

13.2.2024 v 9:07 | Karma článku: 39.56 | Přečteno: 7005 | Diskuse

Další články z rubriky Věda

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (3) - přírodní červená

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními nebo umělými barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? (délka blogu 3 min.)

28.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 13.12 | Přečteno: 121 | Diskuse

Zdenek Slanina

Problém co začal už Arrhenius: Kysličník uhličitý a doba ledová - a teď i sopečné aktivity

Už S. Arrhenius řešil vztah obsahu CO2 v atmosféře i k době ledové. Tehdy hlavně ukázal, že jeho navyšování v atmosféře povede k nárůstu její teploty. Nyní výzkumy z univerzity v Sydney ukazují na roli sopek v nástupu ochlazování.

26.3.2024 v 5:22 | Karma článku: 24.19 | Přečteno: 514 |

Martin Tuma

Berte Viagru, dokud si na to vzpomenete

Rozsáhlá studie odhalila významné snížení výskytu Alzheimerovi nemoci u pravidelkných uživatelů Viagry

25.3.2024 v 14:17 | Karma článku: 13.60 | Přečteno: 303 | Diskuse

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (2) - průmyslová žlutá

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními nebo umělými barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? (délka blogu 3 min.)

25.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 14.44 | Přečteno: 189 | Diskuse

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (1) - přírodní žlutá

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? První díl seriálu o barvách.

21.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 18.12 | Přečteno: 293 | Diskuse
Počet článků 307 Celková karma 31.94 Průměrná čtenost 3139

Vystudoval chemii (SŠ), kybernetiku, řízení, ekonomii a teorii systémů (interdisciplinární studia - VŠ), je obecně uvažujícím člověkem někde na pomezí mezi přírodními vědami a filosofií. Roky vyučoval filosofii fyziky a virtuální reality na PřF a MFF UK v Praze. Od září 2021 Ph.D. se zaměřením na filosofii fyziky a matematiky. Pracoval jako evropský expert pro "Future Technologies", 7 let pak v jedné z nejvyšších evropských pozic v počítačové bezpečnosti. Momentálně finanční expert na evropské úrovni. V letech 1991-7 byl předsedou společnosti Mensa ČR. Je členem světové vědecké Společnosti pro filosofii času. Absolvent Oxfordského kurzu Filosofie vědy. Více informací zde.

Chcete-li sledovat diskuse v "jeho" skupině, připojte se do Vědecké filosofie & Fyziky (nejen). jfikacek@gmail.com
 
Upozornění: Toto je popularizační blog pro veřejnost, neberte ho tedy jako vědeckou dizertační práci. Někdy je to jen divoká fantazie. Na druhé straně se snaží udržovat jistou vědeckou kvalitu, takže "esoterické" komentáře nejsou vítány. P.S.: Osobně útočné a odborně velmi nekvalitní komentáře, zejména velmi dlouhé, budou mazány.

Smoljak nechtěl Sobotu v Jáchymovi. Zničil jsi nám film, řekl mu

Příběh naivního vesnického mladíka Františka, který získá v Praze díky kondiciogramu nejen pracovní místo, ale i...

Rejžo, jdu do naha! Balzerová vzpomínala na nahou scénu v Zlatých úhořích

Eliška Balzerová (74) v 7 pádech Honzy Dědka přiznala, že dodnes neví, ve který den se narodila. Kromě toho, že...

Pliveme vám do piva. Centrum Málagy zaplavily nenávistné vzkazy turistům

Mezi turisticky oblíbené destinace se dlouhá léta řadí i španělská Málaga. Přístavní město na jihu země láká na...

Kam pro filmy bez Ulož.to? Přinášíme další várku streamovacích služeb do TV

S vhodnou aplikací na vás mohou v televizoru na stisk tlačítka čekat tisíce filmů, seriálů nebo divadelních...

Stále víc hráčů dobrovolně opouští Survivor. Je znamením doby zhýčkanost?

Letošní ročník reality show Survivor je zatím nejkritizovanějším v celé historii soutěže. Může za to fakt, že už...